2.6 The Negative Binomial Dist 음이항 분포

2.6 The Negative Binomial Dist 음이항 분포

Definition 9. The Negative binomial dist

연속된 베르누이 시행을 r번째 성공이 발생할 때까지 한다고 해보자. 여기서 r은 고정된 양의 정수이다. 확률변수 X는 r번째성공이 관찰되는데 필요한 시행이라고 하자. 그럼 X에 대한 확률질량함수는 위와 같다. 여기서 우리는 X가 음이항 분포를 갖는다고 말한다.

맥클로린급수 전개를 이용하면 위와 같다. 

 

Ex 2.6-1

생물학과 학생들이 많은 수의 초파리의 눈의 색을 확인하고 있었다. 개별의 파리의 경우 확률 가정해보자. 하얀눈의 확률은 1/4이고, 빨간 눈일 확률은 3/4이다. 이 때 우리는 독립적인 베르누이 시행으로써 이러한 관찰을 취급할 수 있다. 하얀 파리를 관찰하기 위해서는 적어도 4개의 파리의 눈을 검사해야한다는 것은 다음과 같다.

 

음이항 분포의 적률생성함수

 

Ex 2.6-2

농구선수가 연습 중 자유투 성공률이 80%라고 가정하자. 더 나아가 연속된 자유투는 독립적이라고 가정하겠다. 그럼 이 사건은 베르누이 시행일 것이다. X를 이 선수가 10번의 골을 만들기 위해 반드시 시도해야 하는 자유투의 최소한의 수라고 하자. 그럼 X의 확률질량함수는 다음과 같다.

평균과 분산은 위와 같을 것이다.

적률생성함수가 존재할 때, 모든 도함수는 t=0에서 존재한다.  그러므로 M(t)를 맥러린 급수로 나타낼 수 있다.

 

Ex 2.6-4

X의 적률을 다음과 같이 정의하자. 그럼 X의 적률생성함수는

따라서 P(X=0) = 0.2 & P(X=1)=0.8인 베르누이 시행이다.

Ex 2.6-5

공평한 육면체 주사위가 각각의 면이 적어도 한 번 관찰될 때까지 던져졌다. 평균적으로 몇 번 굴려야 하는가? 첫 번째 결과를 관찰하기 위해서는 항상 한 번의 결과가 필요하다. 첫 번째 굴림과 다른 면을 관찰하기 위해서는 p가 5/6이고 q가 1/6인 기하 확률변수를 관찰하는 것과 같다. 그래서 평균적으로 6/5 굴림을 해야한다. 두 개의 다른 면이 관찰된 후에 새로운 면이 관찰되는 확률은 4/6이다. 그래서 평균적으로는 6/4번 굴려야 한다.  이러한 방식으로 계속하면 답은 다음과 같다.