3.1 Continuous Dist 연속형 분포

3.1 Random variables of the conti type 연속형의 확률변수

Definition 1.  연속형 확률 변수를 갖는 확률밀도함수의 조건

한 구간의 공간S를 갖는 연속형 확률변수 X의 확률밀도함수는 위의 조건을 따른다.

 

 

Ex 3.1-1

pdf g(y)를 갖는 연속형 확률변수 Y가 있다. Y의 cdf(누적분포함수)는 위와 같이 정의된다.

 

 

Definition 2. Uniform Distribution 균일분포

균일한 확률변수 X가 있다. 이것의 pdf의 정의역이 정수이고 그 정의역이 구간[a,b]에 있다면 확률함수는 위와 같다.

 

 

연속형의 확률변수 X의 누적분포함수는 X의 pdf에 의해서 위와 같이 정의된다. 

 

 

F(x)는 X가 x이하일 모든 확률을 더한 값이다. fundamental theorem of calculus로부터 우리는 F'(x)의 값이 존재하는 x에 대해서 F'(x)=f(x)임을 알 수 있다.

• 연속형 확률변수에 대한 pdf는 bounded할 필요없다. 즉 유한할 필요가 없다는 의미로 무한대로 수렴할 수 있다.
• 연속형분포와 관련된 cdf는 항상 연속형 함수이다.

 

Definition 3. 연속형 변수에 대한 평균,분산,mgf

 

Ex 3.1-3

Def3에 의거하여 확률변수 Y에 대한 평균과 분산은 위와 같다.

 

 

 

Definition 4. nth percentile. 백분위수

백분위수는 파이기호를 사용하여 나타내며 확률함수 f(x)에 대해 왼쪽에 해당하는 확률 값이다. 때문에 n분위수에 대한 p는 위와 같다.

 

 

Ex 3.1-8

위 식에 대해서는 직접 작성하면서 이해할 필요가 있을 것 같다.