3.2 The exponential, gamma and chi-squared dist 지수, 감마, 카이제곱 분포

3.2 The exponential, gamma and chi-squared dist

지수분포의 파생. W를 unit구간 lamba에서 평균적으로 성공이 발생하는 포아송분포를 관찰할 때의 그 첫번째 성공 기다리는 시간이라고 하자. 그럼 F(w)는 1-P[no occurrences] 와 같다.

 

우리는 여기서 람다를 1/theta로 둘 수 있고, 확률변수 X의 pdf가 위와 같은 함수로 정의된다면, X가 지수분포를 갖는다고 말한다. 

 

Ex 3.2-1

확률변수 X가 평균에 대한 모수 theta= 20을 갖는 지수분포를 갖는다고 하자. 그럼 X의 pdf는 위와 같다.

 

또한 X가 18보다 작을 확률도 f(x)를 적분하여 구할 수 있을 것이다.

 

Ex 3.2-2

어떤 가게에서 고객의 방문자 수가 시간당 평균 20명인 근사 포아송 과정을 따른다 점원이 첫 번째 고객에 도착을 5분이상 기다려야할 확률은 무엇인가? X를 첫 번째 고객이 도착할 때까지 기다리는 시간이라고 하자. 1시간은 60분이므로 1분당 방문하는 숫자의 기대값인 lambda는 20/60 = 1/3일 것이다. 그러므로..

첫도착까지의 중위시간도 위와 같이 구할 수 있다.

 

Ex 3.2-3

특정 유형의 전자제품이 평균수명 500시간을 갖는 지수분포를 따른다고 하자. 제품의 수명을 X라고 한다면

 x에 대한 확률은 위와 같다.

 

지수분포의 망각성

memoryless 속성. 어떤 component가 지수분포를 갖는다면, 위의 조건을 따른다.

지수분포는 망각성을 가지고 있다. 기하분포도 망각성을 갖는 지, 확인해 볼 필요가 있다.

 

Definition 5. The gamma function.

alpha의 값이 양의 정수일 때는 (n-1)!으로 정리된다.

 

 

감마분포의 파생

theta를 lambda로 갖는  포아송과정으로부터의 alpha번째 발생을 기다리는 시간을 W라고 하자. 그럼

F(w)는  위와 같다. 그리고 이것을 미분하면

이 pdf는 감마형식 중 하나로 , 이 확률변수 W는 감마분포를 따른다.

 

 

감마분포의 평균, 분산, mgf

 

Ex 3.2-5

사무실에 전화가 포아송과정을 따른 분당 lambda=2만큼 온다. X를 5번째 전화가 올 때까지 기다리는 시간이라고 하자. 그럼 X의 pdf는

위와 같다.

 

감마분포의 special case : chi-squared dist

 

Ex 3.2-6

X가 자유도 r을 갖는 카이제곱 분포라고 하자. 그럼 위의 표를 이용하여 확률을 구할 수 있다.

 

Ex 3.2-10

X가 평균 2인 지수분포를 갖는다고 가정하면, X의 pdf는 위와 같다. 이렇게 갖다는 것을 증명하는 방법도 지수분포, 감마분포, 카이제곱분포에 대한 이해를 하고 확인해 볼 필요가 있다.