2.5 The Hypergeometric Dist. (초기하분포)

2.5 The Hypergeometric Dist. (초기하분포)

유사한 객체 N_1과 N_2로 이루어진 집합을 생각해보자. N_1은 이분법적 클래스 중 하나의 클래스인 red chip이고 N_2는 또 다른 클래스인 blue chip이다. N개의 객체에서 무작위로 비복원을 추출된 n개의 객체의 집합(n은 1보다는 크고 N_1+N_2 이하임)이 선택했다. 첫번째 클래스가 선택된 객체의 숫자를 X라 하자. 우린 양이 아닌 정수 x가 n,N_1이하이고  n-x가 N_2이하라고 가정한다. 그때 정확 n개중의 x 개가 첫번째 클래스에 속하고 n-x개가 두번째 클래스에 속할 확률은 다음과 같다.

Ex 2.5-2

50마리의 물고기가 있는 작은 연못에 그것 중 10마리는 꼬리표를 달았다. 만약 어부가 잡은 것이 임의의 비복원 추출로 선택된 7마리로 구성되고 X가 꼬리표가 있는 물고기의 숫자를 나타낼 때, 정확히 2개마리 꼬리표 달린 물고기가 잡혔을 확률은 다음과 같다.

초기하분포의 평균과 분산에 대해서는 유도할 수 있도록 하자.

 

 

Remark. 이항분포와 초기하분포

한 항아리가 N_1개의 성공 볼과 N_2개의 실패 볼을 가지고 있다고 가정하자. p를 N_1/(N_1+N_2)라고 하고, X를 이 항아리로부터 무작위로 추출한 크기n 안에 성공 볼의 개수라고 하자. 만약 이 추출이 복원추출로 진행됐다면 X의 분포는 이항분포이고, 이 추출이 비복원으로 추출됐다면 X는 다음의 확률질량함수를 갖는 초기하분포를 가질 것이다.

여기서의 x는 음이아닌 정수이며 위와 같은 조건을 갖는다.

위 그림으로 n이 고정됐을 때 N의 크기가 확률에 미치는 영향을 관찰할 수 있다.