2.7 The Poisson dist 포아송 분포. Definition 10. Poisson process 주어진 연속된 사건에서 어떤 사건의 발생 수가 있다. 그 간격이 카운트된다. 그때 사건이 다음의 조건을 만족하고 람다가 0보다 크다면 근사 푸아송 과정을 갖는다. a ) 겹치지 않은 하위 구간에서 발생한 횟수는 독립이다. b ) h길이의 충분히 짧은 하위 구간에 하나가 발생할 확률은 람다*h와 근사한다. c ) 충분히 짧은 하위구간에서 2개 이상 발생할 확률은 본질적으로 zero이다. 포아송과 이항분포 비교 한 실험이 근사 포아송 과정의 세 가지 조건을 만족한다고 할 때, X는 길이1의 구간안에서 사건이 발생하는 숫자를 나타낸다. 음이 아닌 정수인 x에 대해서 P(X=x)의 근사치를 찾고자 한다. ..
2.6 The Negative Binomial Dist 음이항 분포 Definition 9. The Negative binomial dist 연속된 베르누이 시행을 r번째 성공이 발생할 때까지 한다고 해보자. 여기서 r은 고정된 양의 정수이다. 확률변수 X는 r번째성공이 관찰되는데 필요한 시행이라고 하자. 그럼 X에 대한 확률질량함수는 위와 같다. 여기서 우리는 X가 음이항 분포를 갖는다고 말한다. 맥클로린급수 전개를 이용하면 위와 같다. Ex 2.6-1 생물학과 학생들이 많은 수의 초파리의 눈의 색을 확인하고 있었다. 개별의 파리의 경우 확률 가정해보자. 하얀눈의 확률은 1/4이고, 빨간 눈일 확률은 3/4이다. 이 때 우리는 독립적인 베르누이 시행으로써 이러한 관찰을 취급할 수 있다. 하얀 파리를 관..
2.5 The Hypergeometric Dist. (초기하분포) 유사한 객체 N_1과 N_2로 이루어진 집합을 생각해보자. N_1은 이분법적 클래스 중 하나의 클래스인 red chip이고 N_2는 또 다른 클래스인 blue chip이다. N개의 객체에서 무작위로 비복원을 추출된 n개의 객체의 집합(n은 1보다는 크고 N_1+N_2 이하임)이 선택했다. 첫번째 클래스가 선택된 객체의 숫자를 X라 하자. 우린 양이 아닌 정수 x가 n,N_1이하이고 n-x가 N_2이하라고 가정한다. 그때 정확 n개중의 x 개가 첫번째 클래스에 속하고 n-x개가 두번째 클래스에 속할 확률은 다음과 같다. Ex 2.5-2 50마리의 물고기가 있는 작은 연못에 그것 중 10마리는 꼬리표를 달았다. 만약 어부가 잡은 것이 임의의 ..
2.4 The Binomial Dist. (이항 분포) Definition 5. A Bernoulli experiment (베르누이 시행) 베르누이 시행은 무작위 실험으로, 그 결과는 상호 배타적이고 완전하게 성공 혹은 실패로 분류할 수 있다. Definition 6. A sequence of Bernoulli trials (연속된 베르누이 시행) 연속된 베르누이 시행는 베르누이 시행이 여러번 독립적으로 수행됐을 때 발생한다. 성공에 대한 확률은 매 시행마다 같게 유지된다. Ex 2.4-1 사탕무 씨앗의 발아율은 0.8이고 씨앗의 발아는 성공이라고 표현하겠다. 10개의 씨앗을 심고 한 씨앗의 발아가 독립적이라고 가정했을 때, 또다른 씨앗의 발아율은 확률 p가 0.8인 10번의 베르누이 시행과 동일할 것이..
2.3 Special mathematical expectations (특별한 수학적 기댓값) 분산은 mu에 대한 2차 적률의 결과이다. 평균에 대한 1차 적률은 0이다. (계산해보면 나옴) Definition 4. Mement generating function (적률생성함수) 표본공간이 S이고 확률질량함수 f(x)를 갖는 이산형의 확률변수를 X라고 하자. 유한한 -h < t < h (h는 양수)에 대해 가 존재하면 M(t) = E(e^tX)를 X의 적률생성함수 mgf라고 한다. e^tb_i의 계수인 f(b_i)는 확률함수이다. 즉 위의 상황에서 S = {b_1, b_2, ..., b_n} 일 것이다. Uniqueness of moment generating function(mgf) 적률생성함수의 유일성..
2.1 Discret distributions (이산형 분포) Sample space S인 무작위 실험에서 S안에 s가 오로지 하나의 실수에만 대응하는 X(s)=x 관계인 function X. f(x)를 확률 변수라고 한다. X의 공간은 X(s)=x, s는 S의 원소인 실수의 집합이다 's가 S의 원소'의 의미는 s가 집합 S에 속함을 의미할 것이다. 고등학교 때 배운 함수의 정의로 정의역이 치역에 1:1 대응한다. 우리는 여기서 정의역을 sample space로 볼 수 있다. 즉, 확률변수는 함수이다. Definition 2. pmf (확률질량함수) 이산형 확률변수 X에 대한 확률질량함수 pmf는 다음의 속성을 만족하는 함수이다. 1. 정의역 x가 S의 원소라는 가정에서 f(x)는 0보다 크다. 2. ..
Definition 1.5.1 Partition 분할 B_1,...B_m이 전체 공간 S에 대한 분할이면, 위와 같다. Definition 1.5.2 The law of total probability 전확률 법칙 B_1~B_m이 S의 분할이라고 가정하면, A는 m개의 상호 배타적인 이벤트의 결합이다. Theorem 1.5.1 Bayes' theorem 베이지 정리 B_1~B_m이 S의 분할이라고 하면 Ex 1.5-2 어떤 공장에서 기계1,2,3 같은 길이의 스프링을 생산하고 있다. 생산량 중 기계1,2,3은 각각 2%,1%,3%의 불량 스프링을 생산한다. 공장 내 스프링의 전체 생산량에 대해서 기계1이 35%, 기계2가 25%, 기계3이 40%를 생산한다. 어느 날 생산된 전체 스프링 중 무작위로 한 ..
1.1 Properties of probability (확률의 속성) 기초적인 확률의 속성을 정리하기 전에 간다하게 용어부터 인지하고 들어갑시다. Terminologies Random experiment (무작위 실험) : any procedure that can be infinitely repeated and has a well-defined set of possible outcome. 무작위 실험은 무한 반복할 수 있고, 가능한 결과가 모두 정의돼 있다. outcome(sample) space : the collection of all possible outcomes. 흔히 sample space라고 부르며 결과로 나올 수 있는 모든 경우의 집합이라고 할 수 있겠다. Event : a part of ..
