1.1 Properties of Probability & four definitions 확률의 속성과 네 가지 정의.

1.1 Properties of probability (확률의 속성)

기초적인 확률의 속성을 정리하기 전에 간다하게 용어부터 인지하고 들어갑시다.

Terminologies

• Random experiment (무작위 실험) : any procedure that can be infinitely repeated and has a well-defined set of possible outcome.

무작위 실험은 무한 반복할 수 있고, 가능한 결과가 모두 정의돼 있다.

• outcome(sample) space : the collection of all possible outcomes.

흔히 sample space라고 부르며 결과로 나올 수 있는 모든 경우의 집합이라고 할 수 있겠다.

• Event : a part of the collection of outcomes in S.

전확률에서 나타날 수 있는 결과 집합에 포함되는 어떤 한 사건이다.

• Relative frequency(상대적 빈도) : the frequency of event A in n reps of the experiment.

n번의 반복되는 실험에서 사건 A의 발생 빈도

 

Terminology associated with events.

- mutually exclusive events는 상호 배타적 사건으로 교집합이 공집합이고, 이들은 서로소의 관계이다.

- exhaustive events는 완전한, 모든 결과를 포함하는 이벤트라고 할 수 있겠다.

 

 

즉 A_1,A_2,...,A_k가 mutually exclusive events이고 이들의 합이 S와 같다면, A_1~A_k는 exhaustive한 events라고 할 수 있겠다.

 

Ex-1.1-2

직경 2인치 A disk가 타일바닥에 무작위로 던져졌고, 각 타일은 4인치 면을 가진 직각이다... C를 disk가 타일 위에 완전히 떨어지는 사건이라고 한단다.

 

확률 C의 값을 부여하기 위해서 disk의 중심을 고려해보자. disk가 완전히 타일 위에 올라가려면 그 중심이 어느 region에 놓여야 할까?

 

그림을 그려보면, 그 중심이 반드시 길이 2인 면을 가진 정사각형 안에 놓여야 하고, 그것의 중심은 타일의 중심과 일치해야만 한다.

 

이 정사각형의 넓이가 4이고, 타일의 넓이가 16이기 때문에, 확률 C를 4/16이라고 하는 것은 합리적일 것이다.

 

따라서 확률 C의 값은

Definition 1.1.1 - Probability (공리적 확률의 정의)

확률은 전체 사건에서, 각 사건 A가 할당된 실수값의 집합 함수P로 P(A)는 사건 A의 확률이라고 부른다. 그리고 이것은 다음의 확률을 만족한다.

• P(A)는 항상 0이상이다. 확률이 음수가 될 순 없다.
• 전체확률 P(S)는 항상 1이다. 
• A_1, A_2,...A_k가 모두 서로 교집합이 없는 사건이라면, 그들의 합집합은 그들 각각의 확률을 더한 값과 같고,
• 그들은 무한하지만 셀 수 있는 사건이다.

Theorem 1.1.1 P(A) - 확률 A

각각의 A라는 사건에 대해서, P(A)는 1-P(A^C)와 같다. 여기서 1은 전체사건을 의미할 것이다.

 

증명해보자.

전체사건은 집합A와 A가 아닌 집합의 합집합일 것이고, A와 A가 아닌 사건의 교집합은 공집합이다.

 

여기서 A와 A^C는 서로 disjoint한 것을 확인했기, 때문에 집합의 합집합을 확률의 합으로도 표기할 수 있다.

 

전체사건을 의미하는 1은 확률 A사건 + 확률 A의 여사건일 것이고 

P(A) = 1 - P(A^C)이다.

 

 

Ex-1.1-3

 공평한 동전이 연속적으로 던져진다. 연속적으로 같은 면이 나올 때까지. A는 x가 3,4,5...인 사건으로, 연이은 flip에서 같은 면을 관찰하기 위해 3번이상 던지는 사건이다. 확률 A를 찾기 위해서 우리는 우선  A의 여사건을  찾아야 한다.

 

동전을 두 번 던질 때, 가능한 결과는 HH,HT,TH,TT이다. 그리고 우리는 이러한 네 번의 경우가 같은 가능성을 갖는다고 가정한다. 때문에

P(A^C) = {HH, TT}일 것이고, = 1/2 이다. 

 

즉 P(A) = 1 - P(A^C)이므로 1/2이다. 

 

이렇게 여사건을 이용하여 확률을 구하는 문제를 풀어보았다.

 

Theorem 1.1.2 - P(공집합)의 확률

공집합의 확률은 너무나도 당연하지만 0이다. 공부하는 입장에서 이를 증명해보자.

 

정리 1.1-1에서, A를 공사건이 되도록 하고, A의 여사건이 전체사건이 되도록하자.

 

그러면 공사건의 확률은 1-P(S)가 될 것이고 공사건의 확률은 0이다.

 

Theorem 1.1.3 - P(A) <= P(B)

사건 A와 B에서 A가 B의 부분집합이라면, 확률 B의 값은 확률 A의 값보다 크거나 같다.

 

증명해보자. B는 A와 B교집합A여집합의 합집합이다. 그리고 A와 B교집합 A의 여집합은 공집합이기 때문에 P(A), P(B교집합A여집합)은 disjoint하고 확률의 합으로 나타낼 수 있다.

 

즉, P(B)는 P(A) + P(B교집합A여집합)이고 확률 값은 0이상이므로

 

P(B) >= (A)가 증명된다.

 

 

Theorem 1.1.4 - P(A) <= 1

각각의 사건 A에 대해서 P(A) <= 1 이다. 증명해보자.

 

사건 A는 전체사건 S에 대해 sub set(부분집합)이기 때문에 정리 1.1.3에 의해서

 

P(A)는 P(S)보다 클 수 없다.

 

즉, P(A) <= P(S) = 1 로 증명이 됐다.

 

Theorem 1.1.5 

A와 B가 두 개의 사건이라면 A와B의 합사건의 확률은 확률A + 확률B - A와B의 교사건의 확률과 같다.

 

A합집합B는 A와 A여집합 교집합B의 합집합과 같다. 이 둘은 disjoint하므로 확률의 덧셈으로 표기가 가능하다.

 

B는 A교집합B, A여집합 교집합B의 합집합이고, 마찬가지로 이 둘도 disjoint하기 때문에 덧셈으로 표기가 가능하다.

 

Ex 1.1.-4 

어떤 인구 중 남자의 30%는 흡연자이고, 40%는 비만이고, 25%는 흡연자이며 비만이다. 이 인구에서 임의로 남자를 선택한다고 가정해보자. A는 남자가 흡연자일 확률이고, B는 남자가 비만일 확률이다.

 

Theorem 1.1.6 

정리 1.1.5를 통해 증명가능하고, +, -, +,-,...으로 반복되는 것을 확인할 수 있다.

 

 

Ex 1.1-5

지난 1년동안의 한 그룹의 TV 스포츠 경기 시청 습관에 대한 A 조사가 실시됐다.

A는 축구경기, B는 농구, C는 야구라고 하자.

조사 그룹으로 부터 임의의 한 사람을 골랐을 때, 각각의 확률은 다음과 같다. 그렇다면 A,B,C의 합집합의 확률은 정리1.1.6을 이용하여 구할 수 있을 것이다.

 

Theorem 1.1.7 - 포함-배제의 원리

위와 같이 수학적 귀납법으로 증명이 가능하다. 

 

집합 1~n인 순열 A는 모든 원소가 그것의 값과 일치하지 않은 포지션에 위치하지 않은 경우를 이탈이라고 한다. 즉 이탈은 모든 i값에 대해서 숫자 i가 i번째 위치에 나타나지 않는 것을 말한다. 이탈의 확률은 얼마인지 구해보자.

 

A_i를 i번째 위치에 숫자 i가 나타날 사건이라고 했을 때 P(A_i)는 1/n이다. 

i와 j가 다른 숫자일 때, A_i 교집합 A_j의 확률은 1/n multiple 1/n-1일 것이다. n개의 숫자에서 숫자 A_i를 빼서 A_j의 확률은 1/n-1이 되기 때문이다. 

 

이탈은 모든 A_i^C의 교집합을 구하면 될 것이다.  모든 숫자 i가 i번째에 위치하지 않을 확률이므로..

 

 

Definition 1.1.2 - 확률의 네 가지 정의

- Laplace Classical probability 라플라스 고전적 확률

1. 라플라스의 고전적 확률

• sample space는 유한한 요소로 구성된다.
• 각각의 요소에 대한 확률은 모두 같다.
• 동시에 두 개의 다른 요로를 볼 확률은 없다.

라플라스의 확률 정의에서는 파넨카 킥이나 conti distribution 같은 연속적인 확률 문제에 대해서는 적용되지 않는다.

 

- Emprical prob 경험적 확률

동일한 조건 아래에서 여러 번의 실험이 반복될 때, 사건 E가 m번 관찰되면 경험적 확률론에서는 E를 다음과 같이 정의한다.

 

그냥 많이 실험해보고 그거 믿겠다는 이론이다. 실험 횟수를 극한으로 두는 개념이라고 생각하면 쉽겠다.

 

 

- Kolmogorov axiomatic prob (콜모고롭 공리 정의)

콜모고롭의 공리적 정의는 1-2에서 다뤄보자

 

Subjective prob의 한 부류에는 베이지안 접근법이 있다.