1.2 Methods of enumerataion (나열 방법)

Note: Multiplication principle.

 

Suppose that an experiment E_1 has N_1 outcomes and, for each of these possible outcomes, an experiment E_2 has n_2 possible outcomes. Then the composite experiment E_1E_2 that consists of performing first E_1 and then E_2 has n_1n_2 possible outcomes.

 

Ex 1.2-1

E_1을 암컷쥐 한마리 수컷쥐 한마리가 있는 케이지로부터 취 한마리를 선택하는 것을 나타내는 사건이라 하자. 

E_2은 선택된 쥐에게 약A, B, P 중 어느 것 하나를 투여하는 것을 나타내는 사건이라 하자. 그럼 복합 실험에 대한 결과는 F,P라는 정렬된 쌍으로 나타낼 수 있다. 실제 가능한 모든 결과가 집합으로 나타낼 수 있다.

 

Ex 1.2-2

A Cafe에서는 당신의 방식대로 deli sandwich를 주문할 수 있다.

 

E_1은 6가지의 빵선택, E_2은 4가지의 고기 선택, E_3는 4가지의 치즈 선택, 12가지의 고명,(소스)선택이다. 

 

곱셈원리에 의해 내가 빵을 하나, 0개 또는 1개의 고기, 치즈, 0개 혹은 12개의 소스를 선택하는 경우, 각 양념을 선택하거나 선택하지 않을 수 있는 곱셈원리에 따라 다양한 샌드위치 조합의 가능성이 있다. 

 

빵은 선택하지 않을 수가 없다. 경우의 수 6

고기는 선택하지 않을 수 있다. 채식주의자... 경우의수 4+1 = 5

치즈도 선택하지 않을 수 있다. 치즈 알러저 ... 경우의수 4+1 =5

고명과 소스도 선택하지 않을 수 있지... 않나? 책에선 그대로 12로 쓴 것으로 보아 소스를 선택한다고 가정하는 것 같다. 

 

따라서 6 multiple 5 multiple 5 multiple 12^2

 

Definition 1.2.1 - Permutation (순열)

n differents objects

각자 하나 하나가 다른(즉 구별이 가능한 객체이다)

 

n개의 서로다른 객체의 나열을 n개 객체의 순열이라고 부른다. 

 

Definition 1.2.2 nPr arrangements

nPr은 서로 다른 n개의 원소 중에서 r개를 뽑아 나열하는 배열이다. 

Ex 1.2-4 

26개 알파벳으로부터 선택되어 만들어질 수 있는 4개 문자 모두 다른 네 글자 단어의 수는 다음과 같다.

26개중 서로다른 4개를 선택하여 나열.

 

Ex 1.2-5

10명으로 구성된 클럽에서 부회장, 총무, 회계담당을 선출하는 방법의 수는 다음과 같다.

 

Definition 1.2.3 - ordered sample of size r 

r개의 객체가 n개 객체 집합에서 선택됐다 치자, 선택의 순서가 기록된 경우라면, 그 r개의 선택된 객체 집합을 ordered sample of size r 이라고 한다.

 

 

Definition 1.2.4 - Sampling with replacement  (복원 추출법)

복원추출은 한 객체가 전택되고 그 다음 객체가 선택되기 전에 그것이 복원될 때 발생한다.

 

A라는 주사위를 7번 굴린다. 가능한 정렬된 샘플의 수는 다음과 같다.

 

 

Definition 1.2.5 - Sampling without replacement (비복원 추출)

비복원 추출은 한 객체를 그 객체가 선택된 후에 복원하지 않을 때 발생한다.

5개 카드의 정렬된 샘플의 수 던져질 수 있는 복원없이 52개의 카드 표준덱으로부터

52개의 게임카드 표준덱으로부터 비복원 추출로 던져질 수 있는 5개 카드의 정렬된 샘플의 수는 다음과 같다.

 

Definition 1.2.6 - Combination (조합)

각각의 nCr이라는 비정렬 subsets들은 n개의 객체에서 r개를 가져오는 조합이라고 한다.

52개 게임 카드로부터 뽑을 수 있는 5개 카드 핸드의 수는 다음과 같다.

 

참고: 이항계수를 조합으로 표현

 

 

Definition 1.2.7 distinguishable permutation  (구분 가능한 순열)

n개의 객체중 r개 한 타입과, n-r개의 다른 타입의 각각 nCr 순열은 구분가능한 순열이라고 한다.

A코인을 10번 던지고 앞면, 뒷면을 관찰해서, 4번이 앞면 6번이 뒷면이 결과로 나올 수 있는 10개의 튜플의 수는 다음과 같다.

동부빨간등도롱뇽은 북미 북동부 숲에서 가장 많이 서식하는 도롱뇽 종이고, 붉은등, 납등, 홍색 세가지 변태로 알려져있다.

 

포식자로부터 잡히거나 포착되는 것을 피하기 위한 그들의 능력에 관련해 색 변태와의 가능한 차이점을 연구하기 위해 4마리의 붉은등과 납등 도롱뇽을 통제된 숲속 환경에 풀었다.

 

그들이 포식자에게 잡히거나 먹히는 순서가 기록되고, 도룡뇽의 색변태만 고려된다면, 그들이 붙잡히는 것으로 가능한 순서는 

Note. Multinomial coefficients. (다항 계수)

Suppose that in a set of n objects, n_1 are similar, n_2 are similar, ... n_s are similar, where n_1+n_2+...+n_s = n.

 

Then the number of distinguishable permutations of the n objects is 

 

Ex 1.2-14

통제된 숲 환경에 방사된 동부붉은등도룡뇽 중에서 세 마리는 붉은등이고, 세 마리는 납등이고, 두 마리는 적색이다. 이 도룡뇽이 포식자에게 포착될 순서중 가능한 경우의 수는 다음과 같다.

 

Unoredered & Sampling with replacement

육면체 주사위를 10번 굴렸을 때, 순서없이 나올 수 있는 결과가 몇 개인가?

 

Summary

• with / without replacement (복원, 비복원)
• ordered / unordered (순서, 순서x)