2.1 Discret distributions 이산형 분포

2.1 Discret distributions (이산형 분포)

Sample space S인 무작위 실험에서 S안에 s가 오로지 하나의 실수에만 대응하는 X(s)=x 관계인  function X. f(x)를 확률 변수라고 한다. 

X의 공간은 X(s)=x, s는 S의 원소인 실수의 집합이다 's가 S의 원소'의 의미는 s가 집합 S에 속함을 의미할 것이다.

 

고등학교 때 배운 함수의 정의로 정의역이 치역에 1:1 대응한다. 우리는 여기서 정의역을 sample space로 볼 수 있다.

즉, 확률변수는 함수이다. 

 

 

Definition 2. pmf (확률질량함수)

이산형 확률변수 X에 대한 확률질량함수 pmf는 다음의 속성을 만족하는 함수이다.

1. 정의역 x가 S의 원소라는 가정에서 f(x)는 0보다 크다.

2. sample space S의 원소인 x들의 집합인 정의역에 대한 f(x)의 합은 1이다.

3. X가 A의 원소일 확률은 A의 원소인 x들에 대한 f(x)의 합과 같다. 단, A는 S의 부분집합.

 

Definition of cumulative distribution function (cdf) 누적분포함수

누적분포함수는 cdf로 줄여쓴다.!

 

 

Ex Discret uniform distribution (이산형 균일분포)

육면체 주사위를 던지는 무작위 실험을 생각해보자. 이 실험의 Sample space는 S={1,2,3,4,5,6}이며, S의 원소들은 위에 나온 spot의 숫자를 나타낸다.

 

이 경우 X는 S에서 이산형 균일 분포를 갖는다 그것의 pmf(확률질량함수)는 다음과 같다.

그리고 cdf는

이렇게 k의 값에 따라 달라질 것이다.

 

Ex. 2.1-4

sample space가 1,2,3,4인 공평한 사면체 주사위를 두번 던졌다. X를 두 outcomes의 합과 같다고 해보자.

X로 가능한 값은 2,3,...,8이다. 이 실험은 컴퓨터에서 1000번 시뮬레이션 됐다. Table 2.1-1은 그 결과의 리스트이고, 해당하는 확률을 상대빈도와 함께 비교한다.

다음은 확률함수 f(x)의 히스토그램이다. 도형의 면적의 합은 1이 될 것이다.